深度学习 - MATH

1. 雅可比矩阵

1.1. 定义

设为维列向量，，为维列向量函数，， 则对的偏导数， 也称为对的雅可比， 常记为， 即

结果为的矩阵函数，即雅可比矩阵的取值依赖于的取值

1.2. 特例

标量对向量求偏导、向量对标量求偏导，实际上都是上述雅可比矩阵的某种特殊情况，即的维数为1，或的维数为1.

1.2.1. 标量对向量的偏导数

为了避免混淆，引入表示标量，即，这样由向量到标量的运算很常见，比如：向量的内积，距离度量（或范数），在数学记号中常记为->.

注意，若沿用雅可比矩阵的定义，标量对向量的偏导数为行向量，即

1.2.2. 向量对标量的偏导数

为了避免混淆，引入
，即。注意，若沿用雅可比矩阵的定义，向量对标量的偏导数为列向量，即

注意，除了标量对向量的偏导数中的结果为行向量，其余向量或、，均指的是列向量。

1.3. 运动学上的应用

1.3.1. 雅可比矩阵

在运动学上是一个非常重要的概念，用于描述机器人末端执行器（例如机械臂末端）的速度与关节速度之间的关系。雅可比矩阵可以帮助我们理解和计算机器人末端执行器在关节空间中的速度如何影响末端执行器的运动。

在运动学上，雅可比矩阵描述了末端执行器的线速度和角速度与关节速度之间的关系。雅可比矩阵的表达式如下

其中，
是末端执行器的线速度和角速度向量，
是雅可比矩阵，它是一个x的矩阵，
是末端执行器的自由度（通常是6自由度，3个线速度分量和3个角速度分量），是机器人关节数量，
是机器人关节速度向量

通过雅可比矩阵，我们可以计算出当机器人关节以一定速度运动时，末端执行器的速度是多少。这对于控制机器人的运动、路径规划以及避免碰撞等方面都非常重要

雅可比矩阵在机器人学中有着广泛的应用，特别是在机器人运动学和动力学分析中。通过雅可比矩阵，我们可以更好地理解和控制机器人的运动，使机器人能够高效地执行各种任务

1.3.2. 逆向雅可比方法（Inverse Jacobian Method）

是一种在机器人运动学中常用的方法，用于解决末端执行器速度到关节速度的逆运动学问题。逆向雅可比方法的目标是根据末端执行器的期望速度，计算出使末端执行器以该速度运动的关节速度。

具体来说，逆向雅可比方法的步骤如下
1.给定末端执行器的期望速度向量，以及当前机器人的关节状态
2.计算雅可比矩阵。雅可比矩阵描述了末端执行器速度与关节速度之间的关系
3.计算雅可比矩阵的伪逆（pseudo-inverse），通常使用Moore-Penrose伪逆来计算。伪逆可以用来解决雅可比矩阵不可逆的情况

通过以下公式计算关节速度向量

其中，是雅可比矩阵的伪逆

逆向雅可比方法通常用于机器人运动学中的运动控制问题，例如末端执行器的轨迹跟踪、碰撞避免等。通过逆向雅可比方法，我们可以根据末端执行器的期望运动，计算出使机器人达到该运动的关节速度，从而实现精确控制和规划机器人的运动。

2. 参考

1.雅可比矩阵、标量对向量求导等